湖南信息學(xué)院2022年專升本

《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、《高等數(shù)學(xué)》課程考試用時(shí)

100 分鐘

二、考試要求

考試時(shí)只允許帶鋼筆、鉛筆、圓規(guī)、三角板、橡皮等文具用品，不允許帶計(jì)算器、有關(guān)參考書等進(jìn)入考場(chǎng)。

三、考試范圍及參考書目

《應(yīng)用高等數(shù)學(xué)》，常安成主編，電子科技大學(xué)出版社。2018年6月第一版，ISBN：978-7-5647-6348-0.

第一章函數(shù)

1 、識(shí)記：一元函數(shù)的定義及函數(shù)與圖形之間的關(guān)系；基本初等函數(shù)及其圖形的性態(tài)；

2、理解：函數(shù)的反函數(shù)及它們的圖形之間的關(guān)系；

3、運(yùn)用：掌握函數(shù)的復(fù)合和分解；定義域的求法；會(huì)利用函數(shù)的基本性質(zhì)解題；能對(duì)比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題建立其中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系。

4、本章考核要求 (約 10 分)

1.一元函數(shù)的定義及其圖形，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 清楚一元函數(shù)的定義，理解確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素——定義域和對(duì)應(yīng)法則，會(huì)求函數(shù)的值域。

1.2 清楚函數(shù)與其圖形之間的關(guān)系。

1.3 會(huì)計(jì)算函數(shù)在給定點(diǎn)處的函數(shù)值。

1.4 會(huì)由函數(shù)的解析式求出它的自然定義域。

2.函數(shù)的表示法，要求達(dá)到“識(shí)記”層次。

2.1 知道函數(shù)的三種表示法——解析法、表格法、圖像法及它們各自的特點(diǎn)。

2.2 清楚分段函數(shù)的概念，會(huì)求分段函數(shù)的函數(shù)值。

3.函數(shù)的幾種基本特性，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

3.1 清楚函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性的含義。

3.2 會(huì)判定比較簡(jiǎn)單的函數(shù)是否具有上述特性。

4.反函數(shù)及其圖形，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

4.1知道函數(shù)的反函數(shù)的概念，清楚單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。

4.2 會(huì)求比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的反函數(shù)。

4.3 知道函數(shù)的定義域和值域與其反函數(shù)的定義域和值域之間的關(guān)系。

4.4 清楚函數(shù)與其反函數(shù)的圖形之間的關(guān)系。

5.復(fù)合函數(shù)，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

5.1 清楚函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算的含義及可復(fù)合的條件。

5.2會(huì)求比較簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的定義域。

5.3 會(huì)作多個(gè)函數(shù)按一定順序的復(fù)合；會(huì)把一個(gè)函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合。

6.初等函數(shù)，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

6.1知道什么是基本初等函數(shù)，熟悉其定義域、基本特性和圖形。

6.2 知道反三角函數(shù)的主值范圍。

6.3 知道初等函數(shù)的構(gòu)成。

7.簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的建立，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

7.1 會(huì)對(duì)比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題能過(guò)幾何、物理或其他途徑建立其中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系。

第二章極限

1 、識(shí)記：極限和無(wú)窮小量的概念，知道它們之間的關(guān)系；無(wú)窮小量的比較和高階窮小量的概念。

2、理解：函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)；清楚無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系；無(wú)窮小量的比較和高階窮小量的概念。

3、運(yùn)用：掌握極限的運(yùn)算法則；掌握無(wú)窮小量的基本性質(zhì)；運(yùn)用兩個(gè)重要極限解題。

4、本章考核要求 (約 10 分)

1.數(shù)列及其極限，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 知道數(shù)列的定義、通項(xiàng)及其在數(shù)軸上的表示。

1.2知道單調(diào)數(shù)列和有界數(shù)列，會(huì)判別比較簡(jiǎn)單的數(shù)列的單調(diào)性和有界性。

1.3 理解數(shù)列收斂的含義及其幾何意義。

2.函數(shù)極限，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

2.1 理解各種函數(shù)極限的含義及其幾何意義。

2.2理解函數(shù)的單側(cè)極限，知道函數(shù)極限與單側(cè)極限之間的關(guān)系。

3.極限的運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

3.1 熟知極限的四則運(yùn)算法則，并能熟練地運(yùn)用。

3.2 熟知兩個(gè)重要極限，并能熟練運(yùn)用求極限。

4.無(wú)窮小量及其性質(zhì)和無(wú)窮大量，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

4.1 理解無(wú)窮小量的概念。

4.2 理解無(wú)窮小量與變量極限之間的關(guān)系。

4.3 掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)。

4.4 理解無(wú)窮大量的概念，知道它與無(wú)窮小量的關(guān)系。

4.5 會(huì)判別簡(jiǎn)單的變量是否為無(wú)窮小量或無(wú)窮大量。

5.無(wú)窮小量的比較，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

5.1 清楚無(wú)窮小量之間高階、同階、等價(jià)的含義。

5.2 會(huì)對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量進(jìn)行比較。

6.函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

6.1清楚函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和單側(cè)連續(xù)的定義，知道它們之間的關(guān)系。

6.2 知道函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義。

6.3 知道連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍是連續(xù)函數(shù)。

6.4 知道單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)并連續(xù)的反函數(shù)。

6.5 知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

7.函數(shù)的間斷點(diǎn)，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

7.1 清楚函數(shù)在一點(diǎn)間斷的定義和兩類間斷點(diǎn)。

7.2 會(huì)找出函數(shù)的兩類間斷點(diǎn)。

7.3 會(huì)判別分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。8.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

8.1 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界，并有最大值和最小值。

8.2 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理與零點(diǎn)定理。

8.3 會(huì)用零點(diǎn)定理判斷函數(shù)方程在指定區(qū)間中根的存在性。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

1 、識(shí)記：導(dǎo)數(shù)和微分的定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和作為變化率的實(shí)際意義；平面曲線的切線方程和法線方程的求法；熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。

2 、理解：函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系；高階導(dǎo)數(shù)的定義。

3、運(yùn)用：掌握函數(shù)求導(dǎo)的各種法則，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式并能熟練地運(yùn)用各種求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；清楚高階導(dǎo)數(shù)的定義；熟練掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。

4、本章考核要求 (約 20 分)

1.導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義和實(shí)際意義，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 熟知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和左、右導(dǎo)數(shù)的概念，知道它們之間的關(guān)系。

1.2 知道函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

1.3 知道函數(shù)作為變化率的實(shí)際意義。

1.4 知道函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的含義。

2.平面曲線的切線和法線，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

2.1 知道曲線在一點(diǎn)處切線和法線的定義并會(huì)求它們的方程。

3.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

3.1 清楚函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件。

4.可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

4.1 能熟練運(yùn)用可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

5.1 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

5.2 對(duì)于由多個(gè)函數(shù)的積、商、方冪所構(gòu)成的函數(shù)，會(huì)用對(duì)數(shù)導(dǎo)法計(jì)算其導(dǎo)數(shù)。

6.反函數(shù)的求導(dǎo)法則，要求達(dá)到“識(shí)記”層次。

6.1 清楚反函數(shù)的求導(dǎo)法則。

7.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

7.1 熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式并能熟練運(yùn)用。

8.隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

8.1 理解由函數(shù)方程所確定的一元函數(shù) (隱函數(shù)) 的含義。

8.2 會(huì)求由一個(gè)函數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

9.高階導(dǎo)數(shù)，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

9.1 知道高階導(dǎo)數(shù)的定義，了解二階導(dǎo)數(shù)的物理意義。

9.2 會(huì)求初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

10.參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法則，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

10.1 理解由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的含義。

10.2 會(huì)求參數(shù)式函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)。

11.微分的定義，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

11.1 了解微分作為函數(shù)增量的線性主部的含義。

11.2 清楚函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系。

12.微分的基本公式和運(yùn)算法則，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

12.1 熟知基本初等函數(shù)的微分公式。

12.2 熟知可微函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的微分法則。

12.3 會(huì)求函數(shù)的微分。

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1 、識(shí)記：微分中值定理； 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的概。

2 、理解：清楚函數(shù)的最值及其求法并能解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

3、運(yùn)用：掌握求各種未定式的值的洛必達(dá)法則；會(huì)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定曲線的凹凸性和計(jì)算拐點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)求曲線的水平和鉛直漸近線。

4、本章考核要求 (約 20 分)

1.微分中值定理，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 能正確陳述羅爾定理，知道其幾何意義。

1.2 能正確陳述拉格朗日中值定理并清楚其幾何意義。

1.3 知道導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)必為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)處處相等的兩個(gè)函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)。

2.洛必達(dá)法則，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

2.1 清楚應(yīng)用洛必達(dá)法則的條件，能熟練地使用洛必達(dá)法則計(jì)算0 0 和類型未定式的值。

2.2 能識(shí)別其他類型的未定式，并會(huì)應(yīng)用洛必達(dá)法則求其值。

3.函數(shù)單調(diào)性的判定，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

3.1 清楚導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。

3.2 會(huì)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和判別函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

3.3 會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。

4.函數(shù)的極值及其求法，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

4.1 理解函數(shù)極值的定義。

4.2知道什么是函數(shù)的駐點(diǎn)，清楚函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)之間的關(guān)系。

4.3 掌握函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的兩種充分條件。

4.4 會(huì)求函數(shù)的極值。

5.函數(shù)的最值及其應(yīng)用，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

5.1 知道函數(shù)量值的定義及其與極值的區(qū)別。

5.2清楚最大值的求法并能解決比較簡(jiǎn)單的求最值的應(yīng)用問(wèn)題。

6.曲線的凹凸性和拐點(diǎn)，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

6.1 清楚曲線在給定區(qū)間上“凹”“凸”的定義。

6.2 會(huì)確定曲線的凹凸區(qū)間。

6.3 知道曲線的拐點(diǎn)的定義，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

7.曲線的漸近線，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

7.1 知道曲線的水平和鉛直漸近線的定義及其意義，會(huì)求曲線的這兩類漸近。

第五章不定積分

1 、識(shí)記：清楚微分運(yùn)算和不定積分運(yùn)算之間的關(guān)系；了解不定積分的性質(zhì)。

2、理解：原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分和微分之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3、運(yùn)用：掌握不定積分基本公式、熟練掌握不定積分的第一類換元法和常見(jiàn)類型的分部積分法。掌握第二類換元法 (限于三角置換、根式置換)

4 、考核要求 (約 15 分)

1.原函數(shù)和不定積分概念及不定積分的基本性質(zhì)，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 清楚原函數(shù)和不定積分的定義，了解它們的聯(lián)系與區(qū)別。

1.2 理解微分運(yùn)算和不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

1.2 熟記不定積分的基本性質(zhì)。

2.基本積分公式，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

2.1 熟記基本積分公式，并能熟練運(yùn)用。

3.不定積分的換元積分法，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

3.1 能熟練運(yùn)用第一換元積分法 (即湊微分法)。

3.2 掌握第二換元積分法，知道幾種常見(jiàn)的換元類型。

3.3 會(huì)求比較簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的不定積分。

4.不定積分的分部積分法，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

4.1掌握分部積分法，能熟練地用它求幾種常見(jiàn)類型的不定積分。

第六章定積分及其應(yīng)用

1 、識(shí)記：變上限的定積分是變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理；

2 、理解：定積分的概念及其幾何意義；定積分微元法；牛頓—萊布尼茲公式。

3、運(yùn)用：用微元法求平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體體積和平面曲線的弧長(zhǎng)；用微無(wú)法分析并解決變力作功、液體靜壓力等實(shí)際問(wèn)題。

4 、考核要求 (約 15 分)

1. 定積分概念及其幾何意義，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 理解定積分的概念并了解其幾何意義。

1.2 清楚定積分與不定積分的區(qū)別，知道定積分的值完全取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，與積分變量采用的記號(hào)無(wú)關(guān)。

2.定積分的基本性質(zhì)和中值定理，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

2.1 掌握定積分的基本性質(zhì)。

2.2能正確敘述定積分的中值定理，了解其幾何意義，知道連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值的概念及其求法。

3 .變上限積分與牛頓—萊布尼茨公式，要求達(dá)到“綜合應(yīng)用”層次。

3.1 理解變上限積分是積分上限的函數(shù)并會(huì)求其導(dǎo)數(shù)。

3.2 掌握牛頓—萊布尼茨公式，并領(lǐng)會(huì)其重要的理論意義。

3.3 會(huì)用牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算定積分。

3.4 會(huì)計(jì)算分段函數(shù)的定積分。

4.定積分的換元積分法和分部積分法，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

4.1 掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

4.2 知道對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)或偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)。

5.定積分的幾何應(yīng)用，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

5.1 會(huì)計(jì)算在直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積。

5.2 會(huì)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積。

5.3 會(huì)求曲線的弧長(zhǎng)。

6.定積分的一些物理應(yīng)用，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

6.1 會(huì)計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)在一定時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)歷的

第七章線性代數(shù)初步

1 、識(shí)記：二、三階行列式的定義及其線性方程組的關(guān)系；矩陣的定義及有關(guān)概念；掌握矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，清楚矩陣乘法運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)的運(yùn)算規(guī)則的差別；

2、理解：可逆矩陣的逆矩陣的定義及其基本性質(zhì)；線性方程組的一些基本概念。

3、運(yùn)用：行列式的基本性質(zhì)和計(jì)算方法；會(huì)求可逆矩陣的逆矩陣；會(huì)用克萊姆法則和消元法的矩陣形式求線性方程組的解。

4 、考核要求 (約 10 分)

1.二、三線性方程組和二、三階行列式，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

1.1 知道關(guān)于線性方程組的一些基本概念，會(huì)求排列和逆序數(shù)。

1.2 熟知二、三階行列式的定義。

1.3會(huì)在一定條件下用克萊姆法則求線性方程組的解。

2.行列式的性質(zhì)和計(jì)算，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

2.1 掌握行列式的各種性質(zhì)。

2.2 掌握行列式的按行 (列) 展開(kāi)。

2.3 會(huì)利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)化行列式并計(jì)算其值。

3.矩陣概念及矩陣的初等行變換，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

3.1 知道矩陣的定義及有關(guān)概念。

3.2 知道什么是零矩陣和單位矩陣。

3.3 清楚矩陣的初等行變換的矩陣。

3.4知道什么是行最簡(jiǎn)形矩陣，會(huì)用初等行變換把矩陣化成行最簡(jiǎn)形。

4.三元線性方程組的消元解法，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

4.1知道線性方程組的初等變換的定義，清楚初等變換不改變方程 組的解。

4.2 掌握求解線性方程組的消元法。

4.3知道線性方程組可能無(wú)解，或有唯一解，或有無(wú)窮多個(gè)解。

4.4 在有無(wú)窮多個(gè)解的情況下會(huì)求出方程組的一般解。

4.5知道線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的概念。能熟練地用矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成行最簡(jiǎn)形的方法求方程組的解。

5.矩陣的運(yùn)算及春運(yùn)算規(guī)則，要求達(dá)到“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。

5.1 掌握矩陣的加法和數(shù)乘矩陣運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則。

5.2 掌握矩陣的乘法及其運(yùn)算規(guī)則。

5.3掌握矩陣的轉(zhuǎn)置及有關(guān)的運(yùn)算規(guī)則。

5.4 清楚矩陣的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)的運(yùn)算規(guī)則的異同。

6.可逆矩陣與逆矩陣，要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次。

6.1清楚方陣的行列式的定義及有關(guān)方陣乘積的行列式的結(jié)果。

6.2 知道方陣的伴隨矩陣的定義和有關(guān)結(jié)果。

6.3 清楚可逆矩陣和逆陣的定義及矩陣可逆的條件，知道可逆矩陣的基質(zhì)。

6.4 會(huì)用伴隨矩陣求可逆矩陣的逆矩陣。

四、考試形式

閉卷、筆試。

五、考試題型、題量及分值分布

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2022年湖南信息學(xué)院專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱