一、課程編號(hào)

二、課程類別：數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)專升本課程

三、編寫說明

1、本考核大綱參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的教材《數(shù)學(xué)分析》進(jìn)行編寫。

2、本大綱適用于數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)專升本考試。

四、課程考核的要求與知識(shí)點(diǎn)

第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、識(shí)記：（1）實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)；（2）區(qū)間與鄰域；（3）函數(shù)的定義；（4）復(fù)合函數(shù)；（5）反函數(shù)；（6）初等函數(shù)。

2、理解：（1）上確界、下確界及確界原理；（2）有界函數(shù)；（3）單調(diào)函數(shù)；（4）奇函數(shù)和偶函數(shù)；（5）周期函數(shù)。

3、運(yùn)用：

（1）求函數(shù)值；

（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；

（3）用中學(xué)所學(xué)的基本不等式判斷函數(shù)的有界性；

（4）用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（5）用定義判斷函數(shù)的奇偶性；

（6）用定義判斷函數(shù)的周期性。

第二章 數(shù)列極限

1、識(shí)記：（1）收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列；（2）無窮小數(shù)列；（3）子列；（4）單調(diào)數(shù)列。

2、理解：

（1）數(shù)列極限的定義；

（2）收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性、迫斂性；

（3）四則運(yùn)算法則；

（4）收斂數(shù)列的性質(zhì)與其子列收斂的關(guān)系；

（5）單調(diào)有界定理；

（6）柯西收斂準(zhǔn)則。

3、運(yùn)用：

（1）用數(shù)列極限定義來判斷數(shù)列的極限存在或不存在；

（2）用收斂數(shù)列性質(zhì)、單調(diào)有界定理或柯西收斂準(zhǔn)則來判斷數(shù)列極限的存在性；

（3）對(duì)收斂數(shù)列進(jìn)行四則運(yùn)算。

第三章 函數(shù)極限

1、識(shí)記：（1）函數(shù)極限類型；（2）兩個(gè)重要極限；（3）無窮小量及階；（4）無窮大量；（5）曲線的漸近線。

2、理解：

（1）x→∞時(shí)函數(shù)的極限；

（2）函數(shù)極限的ε--δ定義；

（3）左右極限及單側(cè)極限；

（4）函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性、迫斂性；四則運(yùn)算法則；

（5）歸結(jié)原則；

（6）柯西準(zhǔn)則。

3、運(yùn)用：

（1）用函數(shù)極限定義及歸結(jié)原則來判斷函數(shù)極限的存在或不存在；

（2）用四則運(yùn)算法則及兩個(gè)重要極限來求函數(shù)極限；

（3）求曲線的漸近線；

（4）對(duì)無窮小量的階進(jìn)行比較。

第四章 函數(shù)的連續(xù)性

1、識(shí)記：

（1）自變量和函數(shù)的增量；

（2）間斷點(diǎn)；

（3）函數(shù)的最大值與最小值；

（4）初等函數(shù)在定義域中連續(xù)；

（5）初等函數(shù)。

2、理解：

（1）函數(shù)的連續(xù)性（包括點(diǎn)的和區(qū)間上的）；

（2）左連續(xù)、右連續(xù)及與連續(xù)的關(guān)系；

（3）間斷點(diǎn)的分類；

（4）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部有界性、局部保號(hào)性，四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；

（5）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)：最大、最小值定理，根的存在定理，反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。

3、運(yùn)用：

（1）用定義來判斷函數(shù)的連續(xù)性；

（2）用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)來進(jìn)行有關(guān)證明；

（3）用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)證明。

第五章 導(dǎo)數(shù)和微分

1、識(shí)記：

（1）導(dǎo)數(shù)；

（2）左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)及與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

（3）導(dǎo)函數(shù)；

（4）導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

（5）極值與極值點(diǎn)；

（6）穩(wěn)定點(diǎn)。

2、理解：

（1）費(fèi)馬定理；

（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；

（3）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

（5）初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

（6）參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

（7）高階導(dǎo)數(shù)與萊布尼茲公式；

（8）微分；

（9）微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

（10）微分的運(yùn)算法則；

（11）高階微分。

3、運(yùn)用：

（1）能用有關(guān)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分；

（2）計(jì)算曲線的切線與法線方程；

（3）用微分作近似計(jì)算。

第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

1、識(shí)記：

（1）不定式極限的基本類型及變型；

（2）（嚴(yán)格）凸函數(shù)，（嚴(yán)格）凹函數(shù)；

（3）曲線的拐點(diǎn)。

2、理解：

（1）羅爾中值定理；

（2）拉格朗日中值定理；

（3）拉格朗日中值定理的推論；

（4）（嚴(yán)格）單調(diào)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

（5）柯西中值定理；

（6）洛必達(dá)法則；

（7）帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式；

（8）帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式；

（9）極值的第一充分條件；

（10）極值的第二充分條件；

（11）凸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

（12）曲線拐點(diǎn)的必要及充分條件。

3、運(yùn)用：

（1）能用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性、凸性及拐點(diǎn)；

（2）求某些理論及實(shí)際問題的最值。

第七章 實(shí)數(shù)的完備性

1、識(shí)記：（1）區(qū)間套；（2）集合的聚點(diǎn)；（3）開覆蓋。

2、理解：（1）區(qū)間套定理；（2）聚點(diǎn)定理；（3）有限覆蓋定理。

3、運(yùn)用：用區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理及有限覆蓋定理對(duì)一些簡單問題進(jìn)行計(jì)算和證明。

第八章 不定積分

1、識(shí)記：（1）原函數(shù)；（2）不定積分；（3）基本積分表；（4）有理函數(shù)。

2、理解：（1）原函數(shù)的性質(zhì)；（2）不定積分的線性運(yùn)算法則；（3）第一及第二換元積分法；（4）分部積分法；（5）有理函數(shù)積分法。

3、運(yùn)用：應(yīng)用基本積分表和各種積分方法求函數(shù)的不定積分。

第九章 定積分

1、識(shí)記：（1）定積分的概念；（2）可積的必要條件；（3）可積的函數(shù)類（三類）；（4）變上限的定積分。

2、理解：

（1）牛頓－萊布尼茨公式；

（2）定積分的基本性質(zhì)：線性性、關(guān)于區(qū)間的可加性，不等式性質(zhì)；

（3）積分第一中值定理；

（4）微積分學(xué)基本定理；

（5）換元積分法；

（6）分部積分法。

3、運(yùn)用：

（1）用定積分定義求某些類型數(shù)列的極限；

（2）用定積分性質(zhì)來證明積分不等式；

（3）用各種積分方法計(jì)算定積分。

第十章 定積分的應(yīng)用

1、識(shí)記：（1）曲線的弧長；（2）光滑曲線。

2、理解：（1）求平面圖形的面積；（2）求平面曲線的弧長；（3）求具有截面面積的立體體積。

3、運(yùn)用：（1）求平面圖形的面積；（2）求具有截面面積的立體體積；（3）求平面曲線的弧長。

第十一章 反常積分

1、識(shí)記：

（1）無窮限反常積分的收斂與發(fā)散；

（2）無界函數(shù)反常積分的收斂與發(fā)散；

（3）無窮限反常積分的絕對(duì)收斂與條件收斂；

（4）無界函數(shù)反常積分的絕對(duì)收斂與條件收斂。

2、理解：

（1）無窮限積分的性質(zhì)：柯西準(zhǔn)則、線性性、區(qū)間可加性；

（2）無窮限積分?jǐn)可⑿缘呐袆e：比較原則及其極限形式；

（3）無窮限積分?jǐn)可⑿缘呐袆e：柯西判別法及其極限形式；

（4）無窮限積分收斂性的判別：阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；

（5）瑕積分的性質(zhì)：柯西準(zhǔn)則、線性性、區(qū)間可加性；

（6）瑕積分的斂散性判別：比較原則及其極限形式；

（7）瑕積分的斂散性判別：柯西判別法及其極限形式。

3、運(yùn)用：

（1）用有關(guān)定義求反常積分的值；

（2）用有關(guān)定義及法則判斷反常積分的斂散性。

第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、識(shí)記：

（1）級(jí)數(shù)及部分和；

（2）級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散；

（3）收斂級(jí)數(shù)的和；

（4）正項(xiàng)級(jí)數(shù)；

（5）交錯(cuò)級(jí)數(shù)；

（6）級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂。

2、理解：

（1）級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則與必要條件；

（2）收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)；

（3）比較原則及其極限形式；

（4）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別：比式判別法及其極限形式；

（5）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別：根式判別法及其極限形式；

（6）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性判別：萊布尼茨判別法；

（7）一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別：阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

3、運(yùn)用：

（1）能用定義判斷級(jí)數(shù)的斂散性并求收斂級(jí)數(shù)的和；

（2）用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種斂散性判別法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性；

（3）用柯西準(zhǔn)則、萊布尼茨判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法判別一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。

第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、識(shí)記：

（1）函數(shù)列在一點(diǎn)的收斂與發(fā)散；

（2）函數(shù)列的收斂域；

（3）函數(shù)列一致收斂的概念；

（4）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一點(diǎn)的收斂與發(fā)散；

（5）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域；

（6）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念。

2、理解：

（1）函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)）一致收斂的柯西準(zhǔn)則；

（2）函數(shù)列一致收斂的充要條件；

（3）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法；

（4）函數(shù)列一致收斂的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法；

（5）一致收斂函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）所確定函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性、可積性、可微性。

3、運(yùn)用：

（1）用定義求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限函數(shù)或和函數(shù)，并求收斂域；

（2）用定義或有關(guān)法則判斷函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性；

（3）判斷函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限函數(shù)或和函數(shù)的性質(zhì)，諸如連續(xù)性、可積性與可微性。

第十四章 冪級(jí)數(shù)

1、識(shí)記：（1）冪級(jí)數(shù)；（2）收斂區(qū)間與收斂半徑；（3）泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)；（4）泰勒展開式或冪級(jí)數(shù)展開式。

2、理解：（1）收斂半徑公式；（2）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)；（3）冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。

3、運(yùn)用：

（1）能求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域；

（2）能用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則及某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求其它冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；

（3）能將某些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。

第十五章 傅里葉級(jí)數(shù)

1、識(shí)記：（1）正交函數(shù)和正交函數(shù)系；（2）傅里葉級(jí)數(shù)；（3）按段光滑函數(shù)；（4）正弦函數(shù)與余弦級(jí)數(shù)。

2、理解：傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理。

3、運(yùn)用：（1）求某些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)；（2）用收斂定理判斷某些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性。

第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、識(shí)記：

（1）平面點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)與聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)；

（2）開集與閉集；（3）開域、閉域、區(qū)域；

（4）有界點(diǎn)集和無界點(diǎn)集；

（5）二元函數(shù)和n元函數(shù)；

（6）平面點(diǎn)列的極限。

2、理解：

（1）二元函數(shù)的極限；

（2）二元函數(shù)的累次極限；

（3）二元函數(shù)的累次極限與重極限的關(guān)系；

（4）二元函數(shù)的連續(xù)性；

（5）有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值、最小值定理。

3、運(yùn)用：

（1）用定義或四則運(yùn)算法則求二元函數(shù)的極限或累次極限；

（2）用定義研究二元函數(shù)的連續(xù)性。

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

1、識(shí)記：（1）全微分；（2）偏導(dǎo)數(shù)；（3）方向?qū)?shù)；（4）梯度；（5）海賽矩陣。

2、理解：

（1）函數(shù)可微的必要條件和充要條件；

（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t；

（3）混合偏導(dǎo)數(shù)可交換的充分條件；

（4）極值的必要條件；

（5）極值的充分條件。

3、運(yùn)用：

（1）求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分及高階偏導(dǎo)數(shù)；

（2）求曲面的切平面方程與法線方程。

第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、識(shí)記：（1）顯函數(shù)與隱函數(shù)；（2）隱函數(shù)組；（3）條件極值；（4）拉格朗日函數(shù)。

2、理解：（1）隱函數(shù)存在定理；（2）隱函數(shù)組定理；（3）用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條件極值。

3、運(yùn)用：

（1）隱函數(shù)及隱函數(shù)組求導(dǎo)；

（2）求平面曲線的切線與法線；

（3）求空間曲線的切線與法平面；

（4）求曲面的切平面與法線。

第十九章 ?含參量積分

1、識(shí)記：

（1）含參量（正常）積分；

（2）累次積分；

（3）含參量的無窮限反常積分；

（4）含參量的無窮限反常積分的一致收斂性。

2、理解：

（1）含參量（正常）積分的連續(xù)性、可微性與可積性定理；

（2）含參量的無窮限反常積分的一致收斂判別法則：柯西準(zhǔn)則、大M判別法、阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；

（3）含參量的無窮限反常積分的性質(zhì)：連續(xù)性、可微性與可積性。

3、運(yùn)用：

（1）用含參量的微分法求定積分；

（2）判斷含參量的無窮限反常積分的一致收斂性；

（3）用含參量的無窮限反常積分的微分法求無窮限反常積分。

第二十章 曲線積分

1、識(shí)記：

（1）第一型曲線積分的定義及性質(zhì)；

（2）第二型曲線積分的定義及性質(zhì)。

2、理解：（1）第一型曲線積分的計(jì)算公式；（2）第二型曲線積分的計(jì)算公式。

3、運(yùn)用：（1）求第一型曲線積分和第二型曲線積分。

第二十一章 重積分

1、識(shí)記：

（1）二重積分的定義；

（2）二重積分的性質(zhì)；

（3）x型區(qū)域和y型區(qū)域；

（4）曲線的正向；

（5）單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域；

（6）三重積分的定義及性質(zhì)。

2、理解：

（1）直角坐標(biāo)系下的二重積分化為逐次積分；

（2）格林公式；

（3）曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件；

（4）二重積分的變量變換公式；

（5）用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；

（6）三重積分的常用變量變換公式：柱面坐標(biāo)變換與球坐標(biāo)變換。

3、運(yùn)用：（1）計(jì)算二重積分和三重積分。

第二十二章 曲面積分

1、識(shí)記：

（1）第一型曲面積分的定義及性質(zhì)；

（2）單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面；

（3）第二型曲面積分的定義及性質(zhì)；

（4）右手法則。

2、理解：

（1）第一型曲面積分的計(jì)算公式；

（2）第二型曲面積分的計(jì)算公式；

（3）高斯公式。

3、運(yùn)用：

（1）計(jì)算第一型曲面積分；

（2）會(huì)用第二型曲面積分的計(jì)算公式和高斯公式計(jì)算第二型曲面積分。

五、課程考核實(shí)施要求

1、考核方式

本考核大綱為數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)專升本學(xué)生所用，考核方式為閉卷考試。

2、考試命題

（1）本考核大綱命題內(nèi)容覆蓋了教材的主要內(nèi)容。

（2）試題對(duì)不同能力層次要求的比例為：識(shí)記約占15%，理解約占45%，運(yùn)用約占40%。

（3）試卷中不同難易度試題的比例為：較易占30%，中等占55%，較難占15%。

（4）本課程考試試題類型有填空題（占30％），判斷題（占10％）,計(jì)算題（占36％），證明題（占24％）等四種形式。

3、課程考核成績?cè)u(píng)定

考試卷面成績即為本課程成績。

六、教材和參考書

1、教材

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

2、參考書目

[1] 陳傳璋等編.《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊(cè)）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 張筑生編.《數(shù)學(xué)分析新講》（第一、二、三冊(cè)）（第一版）[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，1990.

[3] 謝惠民等編.《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（上、下冊(cè)）（第一）[M]. 北京：高等教育出版社，2004.